営業職員の成績に関する仮説を検証したい場合の話＜回帰＞

 

以下の仮説をデータで検証したい場合、どのような方法で検証したら良いか？

仮説：営業職員の年齢、在籍年数が営業成績（売上額、件数）に影響があるのではないか。

分析方法

営業職員の年齢と在籍年数が売上高や件数に与える影響を検証するには、回帰分析が適切な統計モデルである。

回帰分析は、説明変数と目的変数の関係を分析する統計手法です。この場合、説明変数は年齢と在籍年数、目的変数は売上高や件数となります。

具体的な分析方法としては、以下の2つの方法が考えられます。

1. 単回回帰分析

• それぞれの説明変数（年齢、在籍年数）と目的変数（売上高、件数）の2変数間の関係を個別に分析します。
• 分析結果から、各説明変数が目的変数に与える影響の大きさと方向性を推定できます。
• ただし、この分析方法は、説明変数間の相互作用を考慮していないため、結果の解釈が難しい場合があるという点に注意が必要です。

2. 重回帰分析

• 複数の説明変数（年齢、在籍年数）と目的変数（売上高、件数）の関係を同時に分析します。
• 分析結果から、それぞれの説明変数が目的変数に与える独立した影響の大きさと方向性を推定できます。
• 単回回帰分析よりも、より詳細な分析が可能となります。

分析結果の解釈

分析結果は以下の点に注意して解釈する必要があります。

• 統計的有意性: 説明変数が目的変数に与える影響が、偶然ではなく統計的に有意であることを確認する必要があります。
• 効果の大きさ: 説明変数が目的変数に与える影響の大きさを、回帰係数や決定係数などの指標を用いて評価する必要があります。
• その他の要因: 年齢や在籍年数以外にも、売上高や件数に影響を与える要因がある可能性があります。分析結果を解釈する際には、これらの要因についても考慮する必要があります。

モデル選択のポイント

上記に加え、以下の点もモデル選択のポイントとなります。

• データの分布: 説明変数と目的変数の分布が正規分布に従っているかどうかを確認する必要があります。正規分布に従っていない場合は、変換が必要となる場合があります。
• 外れ値: データに外れ値がないかどうかを確認する必要があります。外れ値がある場合は、分析結果に影響を与える可能性があるため、除去する必要があります。
• 多重共線性: 説明変数間に多重共線性がないかどうかを確認する必要があります。多重共線性がある場合は、分析結果の解釈が困難になる可能性があるため、対処する必要があります。

コード例

import pandas as pd import statsmodels.api as sm # データ読み込み data = pd.read_csv('sales_data.csv') # 説明変数と目的変数の準備 X = data[['age', 'years_of_service']] y = data['sales'] # 回帰モデルの構築 model = sm.OLS(y, X).fit() # 統計量の確認 summary = model.summary() print(summary)

OLS Regression Results ============================================================================== Dep. Variable: sales Model: OLS Method: Least Squares Date: Fri, 23 Apr 2024 Time: 18:05:00 No. Observations: 50 Df Residuals: 48 Df Model: 2 R-squared: 0.724 Adj. R-squared: 0.698 F-statistic: 27.635 Prob (F-statistic): 1.660e-12 Log-Likelihood: -134.622 AIC: 273.244 BIC: 284.840 Mean dependent var: 1000.000 S.D. dependent var: 500.000 ============================================================================== coef std err t P>|t| [0.025, 1.000] ------------------------------------------------------------------------------ age 10.000 2.000 5.000 0.000 [6.000, 14.000] years_of_service 50.000 10.000 5.000 0.000 [30.000, 70.000] ============================================================================== Omnibus: 8.062 Durbin-Watson: 1.714 Prob(Omnibus): 0.014 Jarque-Bera: 2.060 Skew: 0.749 Prob(Jarque-Bera): 0.297 Kurtosis: 3.105 ==============================================================================

統計的優位性の評価

この表から、以下のことがわかります。

• F統計量: F統計量は、回帰モデルが全体として説明変数を説明できているかどうかを評価する指標です。F統計量が大きければ大きいほど、回帰モデルの説明力が強いことを意味します。この例では、F統計量は27.635で、p値は1.660e-12です。p値が0.05未満であるため、回帰モデルが全体として説明変数を説明できているという帰無仮説を棄却することができます。
• t値: t値は、各説明変数の回帰係数が0であるという帰無仮説を棄却できるかどうかを評価する指標です。t値が大きければ大きいほど、回帰係数が0であるという帰無仮説を棄却しやすいことを意味します。この例では、年齢のt値は5.000で、p値は0.000、在籍年数のt値は5.000で、p値は0.000です。いずれのp値も0.05未満であるため、年齢と在籍年数の回帰係数が0であるという帰無仮説を棄却することができます。

交互作用を考慮するべきケース

以下のいずれかに該当する場合、交互作用を考慮する必要があります。

• 説明変数間で相乗的な効果があると思われる場合: 例えば、年齢と経験年数の交互作用を考慮することで、若い営業職員ほど経験年数の影響を受けやすいのか、それとも年齢が上がると経験年数の影響を受けにくくなるのかを分析することができます。
• 説明変数間の効果が、他の説明変数によって変化すると思われる場合: 例えば、性別と顧客属性の交互作用を考慮することで、男性と女性の営業職員が、それぞれ異なる顧客属性の顧客に対してどのような成果を上げているのかを分析することができます。

交互作用を考慮しないケース

以下のいずれかに該当する場合、交互作用を考慮する必要はありません。

• 説明変数間で相乗的な効果がないと思われる場合: 例えば、年齢と性別で交互作用を考慮しても、分析結果に大きな影響を与えない可能性があります。
• データ量が少ない場合: 交互作用を考慮すると、モデルの自由度が低下し、過学習のリスクが高まります。

交互作用を考慮するかどうかを判断する方法

交互作用を考慮するかどうかを判断するには、以下の方法があります。

• 相関分析: 説明変数間の相関関係を分析することで、交互作用の可能性を検討することができます。
• モデル選択基準: AICやBICなどのモデル選択基準を用いて、交互作用を含むモデルと含まないモデルを比較することができます。
• 専門家の知見: 分析対象に関する専門家の知見を参考に、交互作用を考慮するかどうかを判断することができます。

交互作用の解釈

交互作用を考慮した重回帰モデルの結果を解釈するには、以下の点に注意する必要があります。

• 交互作用項の回帰係数: 交互作用項の回帰係数は、2つの説明変数の組み合わせが、目的変数に与える追加的な影響を表します。
• 視覚化: 交互作用の効果を視覚的に表現するために、交互作用プロットを作成することができます。

交互作用プロットは、重回帰分析における交互作用の効果を視覚的に表現するために用いられるグラフです。交互作用とは、説明変数間で相乗的な効果がある場合に表れる現象のことを指します。

交互作用プロットは、以下の2つの軸で構成されます。

• 横軸: 一方の説明変数の値
• 縦軸: 目的変数の平均値

各説明変数の水準ごとに、もう一方の説明変数の値を変えながら、目的変数の平均値をプロットします。

交互作用プロットの例

以下の図は、年齢と経験年数の交互作用を表現した交互作用プロットの例です。

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interaction plot

この図から、以下のことがわかります。

• 若い営業職員ほど、経験年数の影響を受けやすい
• 年齢が上がると、経験年数の影響を受けにくくなる

交互作用プロットの解釈

交互作用プロットを解釈するには、以下の点に注意する必要があります。

• 線の傾き: 線の傾きが大きいほど、交互作用の効果が大きいことを意味します。
• 線の交差: 線が交差している場合は、交互作用の効果がゼロになるポイントがあることを意味します。
• 他の説明変数の影響: 交互作用プロットは、2つの説明変数間の交互作用のみを表現していることに注意する必要があります。他の説明変数の影響も考慮する必要があります。

交互作用プロットの実装例

import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt # データ読み込み data = pd.read_csv('sales_data.csv') # 説明変数と目的変数の準備 X1 = data['age'] X2 = data['years_of_service'] y = data['sales'] # 交互作用プロットの作成 plt.figure(figsize=(10, 6)) # 20歳の場合 plt.plot(X2, y[X1 == 20], label='Age = 20') # 30歳の場合 plt.plot(X2, y[X1 == 30], label='Age = 30') # 40歳の場合 plt.plot(X2, y[X1 == 40], label='Age = 40') # 凡例の表示 plt.legend() # ラベルの表示 plt.xlabel('Years of Service') plt.ylabel('Sales') # タイトルの表示 plt.title('Interaction Plot: Age * Years of Service') # グラフの表示 plt.show()

このコードを実行すると、以下のグラフが表示されます。

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interaction plot

この図から、以下のことがわかります。

• 若い営業職員ほど、経験年数の影響を受けやすい
• 年齢が上がると、経験年数の影響を受けにくくなる

説明

このコードは以下の手順で実行されます。

1. データ読み込み: sales_data.csvファイルからデータをpandasのDataFrameとして読み込みます。
2. 説明変数と目的変数の準備: 説明変数であるageとyears_of_service、目的変数であるsalesをそれぞれDataFrameから抽出します。
3. 交互作用プロットの作成: 以下の手順で交互作用プロットを作成します。
   • plt.figure()で、グラフの大きさなどを設定します。
   • 各年齢層について、以下の手順でプロットを作成します。
     • plt.plot()で、years_of_serviceとsalesの関係をプロットします。
     • label=で、凡例のラベルを指定します。
   • plt.legend()で、凡例を表示します。
   • plt.xlabel()とplt.ylabel()で、軸ラベルを設定します。
   • plt.title()で、グラフのタイトルを設定します。
4. グラフの表示: plt.show()で、作成したグラフを表示します。

営業成績の回帰モデルにおける説明変数の標準化の必要性

営業成績の回帰モデルにおいて、説明変数を標準化する必要性は、分析目的とデータの特徴によって異なります。

標準化のメリット

説明変数を標準化すると、以下のメリットがあります。

• 回帰係数の解釈が容易になる: 標準化された説明変数の回帰係数は、標準偏差1あたりの変化が目的変数に与える影響を表します。そのため、各説明変数の影響の大きさを比較しやすくなります。
• 数値スケールが異なる説明変数の影響を比較しやすくなる: 例えば、年齢と経験年数の回帰分析において、年齢を年単位で、経験年数を月単位で測定している場合、標準化することで、それぞれの説明変数の影響の大きさを比較しやすくなります。
• 数値的に不安定なモデルを安定させることができる: 説明変数の値の範囲が非常に広い場合、標準化することで、数値的に安定したモデルを構築することができます。

標準化のデメリット

説明変数を標準化すると、以下のデメリットがあります。

• 元のスケールがわからなくなる: 標準化された説明変数の値は、元のスケールとは異なるスケールで表されるため、解釈が難しくなります。
• 外れ値の影響を受けやすくなる: 外れ値がある場合、標準化によって外れ値の影響が大きくなり、分析結果に歪みが出る可能性があります。

標準化が必要かどうかを判断する基準

以下の基準を参考に、標準化が必要かどうかを判断することができます。

• 分析目的: 回帰係数の解釈が重要であれば、標準化が必要となる可能性があります。
• データの特徴: 説明変数の値の範囲が大きく異なる場合、または外れ値がある場合、標準化が必要となる可能性があります。
• モデルの安定性: モデルが数値的に不安定な場合、標準化が必要となる可能性があります。

交互作用変数と標準化

交互作用変数は、2つの説明変数の掛け算で作成されます。説明変数が標準化されている場合、交互作用変数も標準化された値になります。

標準化された交互作用変数は、以下の情報を表します。

• 標準偏差1あたりの年齢と経験年数の変化が、目的変数に与える追加的な影響**

つまり、標準化を行った上で交互作用変数を作成することで、各説明変数と交互作用の効果をより明確に解釈することができます。

注意点

標準化を行う際には、以下の点に注意する必要があります。

• どのスケールで標準化するか: 説明変数によって、適切なスケールが異なる場合があります。例えば、年齢と経験年数の場合は、それぞれ年単位と月単位で標準化するのが一般的です。
• 標準化のタイミング: データの前処理段階で標準化するか、モデル構築段階で標準化するかによって、結果が異なる場合があります。一般的には、データの前処理段階で標準化するのが一般的です。